Les deux emplois « en main propre » et « en mains propres » sont corrects. Dans cette expression, « propre » n’est pas le contraire de « sale » mais se rapporte à ce qui est propre à quelqu’un, personnel. Cette expression signifie « donner directement au destinataire, sans intermédiaire ».
On écrira ainsi : Il faut lui remettre ce document en main propre ou Il faut lui remettre ce document en mains propres.